Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（

2

，0），右顶点为（1，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k＞0）与双曲线C有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞3（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题

分析：（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；
（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，进而把条件

OA

•

OB

＞3转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得a=1，c=

2

∴b²=c²-a²=1．
∴双曲线C的方程为x²-y²=1；
（2）将y=k（x-1）代入x²-y²=1得（1-k²）x²+2k²x-（k²+1）=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-k2≠0 △＞0

即k²≠1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则x_A+x_B=-

2k2

1-k2

=

2k2

k2-1

，x_Ax_B=

k2+1

k2-1

，由

OA

•

OB

＞3得x_Ax_B+y_Ay_B＞3
而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A-k）（kx_B-k）=（1+k²）x_Ax_B-k²（x_A+x_B）+k²=

k2+1

k2-1

．
于是

k2+1

k2-1

＞3，即有

2-k2

k2-1

＞0，解得，1＜k²＜2   ②
由①、②得1＜k²＜2，
故k的取值范围为．（-

2

，-1）∪（1，

2

）．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，考察字母运算能力，属于难题．