Question

（本小题满分12分）
如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.
（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）椭圆与椭圆是相似椭圆. 证明见解析。

试题分析：（Ⅰ）椭圆的离心率为， 抛物线的焦点为. 
设椭圆的方程为，由题意，得：　，解得，
∴椭圆的标准方程为 .                        ………………………………4分
（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆.                 ………………………………5分
联立和的方程，，消去，得，   ……6分
设的横坐标分别为，则.  
设椭圆的方程为，      …………………………………7分
联立方程组，消去，得,
设的横坐标分别为，则. 
∵弦的中点与弦的中点重合，∴，，
∵，∴化简得， ……………………………10分
求得椭圆的离心率，    ………………………12分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆.
解法二：（参照解法1评分）
设椭圆的方程为，.
∵在椭圆上，∴且，两式相减并恒等变形得. 
由在椭圆上，仿前述方法可得.
∵弦的中点与弦的中点重合，
∴，求得椭圆的离心率， 即椭圆与椭圆是相似椭圆.
点评：综合题，判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆，主要是要把握好“如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似”这一定义，“点差法”是常用方法．