Question

(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）S。

试题分析：（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2，） ，2b=4
故可求得b=2,a=2  椭圆E的方程为      ……2分
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为，
解方程组得,即,
则△=,
即（*）……………………4分
,要使,需使,即,
所以, 即   ①………………………7分
将它代入（*）式可得……………………………8分
P到L的距离为
又
将及韦达定理代入可得……………………10分
当时
由 故……………12分
当时,
当AB的斜率不存在时,  ,
综上S……………………………13分
点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。