Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

Sn

an-2

=

a

a-2

 （a是常数且a＞O，a≠2），b_n=

2Sn

an

+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}为等比数列，求{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，记c_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n，?n∈N^*是否存在正整数m，使

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1及其等比数列的定义即可得出；
（2）利用b_n=

2Sn

an

+1及其a_n可得b₁，b₂，b₃．由于数列{b_n}为等比数列，可得

b

2 2

=b1b3．即可得出a．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）利用对数的运算法则、等差数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）由得：Sn=

a

a-2

(an-2)
∴a1=

a

a-2

(a1-2)，
解得a₁=a．
当n≥2时，∴a_n=S_n-S_n-1=

a

a-2

(an-2)-

a

a-2

(an-1-2)，
化为

an

an-1

=

a

2

，
∴数列{a_n}是首项为a，公比为

a

2

的等比数列．
∴an=a•(

a

2

)n-1．
（2）∵b_n=

2Sn

an

+1，
∴b₁=

2a1

a1

+1=3，
b₂=

2(a1+a2)

a1

+1=2+a+1=3+a，
b3=

2(a1+a2+a3)

a1

+1=2+a+2×(

a

2

)2+1=

a2

2

+a+3，
∵数列{b_n}为等比数列，∴

b

2 2

=b1b3．
∴(3+a)2=3(

a2

2

+a+3)，
化为a²-6a=0，又a＞0．
解得a=6．
∴公比q=

b2

b1

=

3+6

3

=3．
∴b_n=3ⁿ．
（3）证：cn=log3b1+log3b2+…+log3bn=log3b1b2…bn=log331+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)，
由

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

?n∈N^*都成立得：
2(1-

1

n+1

)≥

m

3

，对?n∈N^*都成立，
∵数列{

1

n+1

}是单调递减数列，
∴2(1-

1

2

)≥

m

3

，即1≥

m

3

．
∵m是正整数，∴m的值为1、2、3．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．