Question

15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥PB．

Answer 1

分析 根据底面是圆，得到BC⊥AC，再根据PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后综合即可证明AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥PB．

解答 证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
又∵PB?平面PBC，
∴AE⊥PB．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，通过对已知条件的分析，得到线面垂直，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．