Question

已知椭圆E的方程为2x²+y²=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；
（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：，于是，b=1，，由此能够求出椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标．
（2）依题意，设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），．根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，将y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．再由韦达定理求△ABO的面积的最大值．
解答：解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：，（1分）
于是，b=1，，
因此，椭圆E的长轴长为，短轴长为2b=2，离心率，两个焦点坐标分别是F₁（0，-1）、F₂（0，1），四个顶点的坐标分别是，，A₃（-1，0）和A₄（1，0）．（6分）
（2）依题意，不妨设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则．（8分）
根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，
将y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
由韦达定理得：，（10分）
所以（当且仅当，即k=0时等号成立）．（13分）
故△ABO的面积的最大值为．（14分）
点评：本题考查椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标的求法和计算△ABO（O为原点）的面积的最大值．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．