Question

（2012•闵行区一模）已知椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，右焦点为F，直线l与圆x²+y²=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若直线l的倾斜角为

π

4

，求直线l的方程；
（2）求证：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．

Answer 1

分析：（1）先设直线l的方程为y=x+m，利用点到直线的距离公式可求m，进而可求直线方程
（2）由△AOQ为直角三角形，利用两点间的距离公式及勾股定理可求AQ，结合A在椭圆上可得A的坐标满足的方程，从而可用x₁表示AQ，同理可得AF，利用椭圆的定义即可证明

解答：解：（1）设直线l的方程为y=x+m，
则有

|m|

2

=

3

，得m=±

6

…（3分）
又切点Q在y轴的右侧，所以m=-

6

，…（2分）
所以直线l的方程为y=x-

6

…（2分）
证明：（2）因为△AOQ为直角三角形，所以|AQ|=

OA2-OQ2

=

x 2 1 + y 2 1 -3

又

x12

4

+

y12

3

=1得|AQ|=

1

2

x1…（2分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

又

x12

4

+

y12

3

=1得|AF|=2-

1

2

x1…（2分）
所以|AF|+|AQ|=2，同理可得|BF|+|BQ|=2…（2分）
所以|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|…（1分）

点评：本题主要考查了点到直线的距离公式在求解直线方程中的应用，椭圆的定义的简单应用