Question

（2013•闵行区一模）已知椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，右焦点为F，直线l的倾斜角为

π

4

，直线l与圆x²+y²=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于两个不同点A，B．
（1）求直线l的方程；
（2）求△ABF的面积．

Answer 1

分析：（1）设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求出，直线方程中的变量，即可得到直线方程．
（2）设出A、B坐标，利用直线方程与椭圆方程联立，通过弦长公式求出|AB|距离，然后表示出三角形的面积，即可得到结果．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=x+m，
则有

|m|

2

=

3

，得m=±

6

…（3分）
又切点Q在y轴的右侧，所以m=-

6

，…（2分）
所以直线l的方程为y=x-

6

…（2分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=x- 6 x2 4 + y2 3 =1

得7x2-8

6

x+12=0…（2分）x1+x2=

8 6

7

，x1x2=

12

7

|AB|=

1+1

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

…（2分）
又F（1，0），所以F到直线l的距离d=

|1- 6 |

2

=

1

2

(2

3

-

2

)…（2分）
所以△ABF的面积为

1

2

|AB|d=

2

7

(3

2

-2

3

)…（1分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，直线与圆相切切线方程的求法，考查计算能力，转化思想．