Question

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁和l₂，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l₂于点C，又l与l₁交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l₁的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，证明：λ₁+λ₂为常数．

Answer 1

分析：（1）因为直线l₁的倾斜角为30°，所以

b

a

=

3

3

，因为双曲线的焦距为8，所以c=4再根据a，b，c关系，可得椭圆方程．
（2）由l⊥l₂于点C，以及l₁和l₂方程可得出l方程，再与l₁方程联立，求出P点坐标．再设出A，B坐标，由

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，计算出λ₁+λ₂，的值即可．

解答：解：（1）由已知，

b

a

=

3

3

，a²+b²=16．
解得：a²=12，b²=4
所以椭圆E的方程是

x2

12

+

y2

4

=1
（2）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由题意得：直线l₁的方程为：y=

b

a

x，直线l₂的方程为：y=-

b

a

x
则直线l的方程为：y=

a

b

（x-c），其中点F的坐标为（c，0）；


由

y= b a x  y= a b (x-c)

得：

x= a2 c y= ab c

，则点P(

a2

c

，

ab

c

)

由

x2 a2 + y2 b2 =1 y= a b (x-c)

消y得：2x²-2cx+（c²-a²）=0，则x₁+x₂=c   x₁x₂=

c2-a2

2

；
由

PA

= λ1

AF

得：x1-

a2

c

=λ1(c-x2)，则：λ1=

cx1-a2

c(c-x1))

，
同理由

PA

=λ2

BF

得：λ2=

cx1-a2

c(c-x2)

．
λ₁+λ₂=

cx1-a2

c(c-x1))

+

cx2-a2

c(c-x2))

=

(cx1-a2)(c-x2)+(cx2-a2)(c-x1)

c(c-x1))(c-x2))

=

(c2+a2 )c-c(c2-a2)-2ca2

c(c-x1))(c-x2)

=0
故λ₁+λ₂=0为常数．
解法2：过p作X轴的垂线M，过A，B分别作m的垂线，垂足分别为A₁，B₁
由题意得：直线l₁的方程为：y=

b

a

x，直线l₂的方程为：y=-

b

a

x
则直线l的方程为：y=

a

b

(x-c)，其中点F的坐标为（c，0）
由

y= b a x y= a b (x-c)

得：

x= a2 c y= ab c

，则直线m为椭圆E的右准线
则：

PA

AF

=

| PA |

e| AF |

，

PB

BF

=

| PB |

e| BF |

，其中e的离心率
λ₁=

| PA |

| AF |

，λ₂=-

| PB |

| BF |

，

| PA |

| AF |

=

| PB |

| BF |

，故λ₁+λ₂=0
∴λ₁+λ₂为常数

点评：本题考查了椭圆，双曲线与直线的位置关系，计算量较大，须认真解答．