Question

4．已知$\overrightarrow a$=（2，1），
（1）如果|$\overrightarrow b$|=$2\sqrt{5}$，且向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，求$\overrightarrow b$的坐标表示；
（2）如果|$\overrightarrow b$|=$2\sqrt{10}$，且向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为$\frac{3π}{4}$，求$\overrightarrow b$的坐标表示．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，由向量的模及斜率共线列关于x，y的方程组求解；
（2）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，由向量的模及斜率夹角列关于x，y的方程组求解．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，由|$\overrightarrow b$|=$2\sqrt{5}$，且向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\\{2y-x=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow b=（4，2）$或$\overrightarrow b=（-4，-2）$；
（2）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，由|$\overrightarrow b$|=$2\sqrt{10}$，且向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为$\frac{3π}{4}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=40}\\{\frac{2x+y}{\sqrt{5}•\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow b=（-6，2）$或$\overrightarrow b=（-2，-6）$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线及垂直的坐标运算，考查向量模的求法，是中档题．