Question

已知a为给定的正实数，m为实数，函数f(x)＝ax³－3(m＋a)x²＋12mx＋1．
(Ⅰ)若f(x)在(0，3)上无极值点，求m的值；
(Ⅱ)若存在x₀∈(0，3)，使得f(x₀)是f(x)在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)a；(Ⅱ)m≤或m≥．

试题分析：(Ⅰ) 求原函数的导函数，则导函数恒大于等于0，即可得所求；(Ⅱ)由(Ⅰ)知导函数时等于0，则为函数的极值，要使有最值，再看导函数为0时的另外一个根的范围，然后分情况讨论：①时，显然为最值；②时，先求(0，3)上的极值，然后再与端点函数值比较满足题意求m；③时，先求(0，3)上的极值，然后再与端点函数值比较满足题意求m，综合①②③可得m的取值范围．
试题解析：(Ⅰ)由题意得f′(x)＝3ax²－6(m＋a)x＋12m＝3(x－2)(ax－2m)，
由于f(x)在(0，3)上无极值点，故＝2，所以m＝a．                         5分
(Ⅱ)由于f′(x)＝3(x－2)(ax－2m)，故
(i)当≤0或≥3，即m≤0或m≥a时，
取x₀＝2即满足题意．此时m≤0或m≥a．
(ii)当0＜＜2，即0＜m＜a时，列表如下:

x	0	(0，)		(，2)	2	(2，3)	3
f′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m＋1

故f(2)≤f(0)或f()≥f(3)，
即－4a＋12m＋1≤1或＋1≥9m＋1，
即3m≤a或≥0，
即m≤或m≤0或m＝．此时0＜m≤．
(iii)当2＜＜3，即a＜m＜时，列表如下:

x	0	(0，2)	2	(2，)		(，3)	3
f′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m＋1

故f()≤f(0)或f(2)≥f(3)，
即＋1≤1或－4a＋12m＋1≥9m＋1，
即≤0或3m≥4a，
即m＝0或m≥3a或m≥．
此时≤m＜．
综上所述,实数m的取值范围是m≤或m≥．               14分