Question

已知函数的反函数为，设的图象上在点处的切线在y轴上的截距为，数列{}满足： 
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，仅最小，求的取值范围；
（Ⅲ）令函数数列满足,求证：对一切n≥2的正整数都有 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为；（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）将函数的反函数求出来，可得，
再由得 
是以2为首项，l为公差的等差数列，由此可得数列{}的通项公式
（Ⅱ）求出函数的反函数在点处的切线的截距即得
将，的通项公式代入得：
这是一个二次函数，但n只取正整数，画出图象可以看出当对称轴介于与之间的时候，就仅有最小，，解这个不等式即可得的取值范围
（Ⅲ）由题设可得：结合待证不等式可看出，可将这个等式两边取倒数，这样可得： ，从而

 
又递推公式可知，各项为正，所以

试题解析：（Ⅰ）
∴函数的反函数 
则得 
是以2为首项，l为公差的等差数列，故            （3分）
（Ⅱ） 在点处的切线方程为
令， 得
           （6分）
依题意，仅当时取得最小值，
，解之
∴的取值范围为                  （8分）
（Ⅲ）故 
又故，

 
又
故                             （14分）