Question

已知函数的图象在上连续，定义：，.其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.
（Ⅰ）若，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4阶收缩函数．（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式．
（Ⅱ）根据函数f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，
然后再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
试题解析：
（Ⅰ）由题意可得：，2分
（Ⅱ），，
所以                             4分
当时，，∴，即；
当时，，∴，即；
当时，，∴，即．
综上所述，∴
即存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4阶收缩函数．                     7分
（Ⅲ）令得或．函数f（x）的变化情况如下：

x	（－，0）	0	（0,2）	2	（2，+）
	－	0	+	0	－
f（x）		0		4

令f（x）=0，解得x=0或3．                                           
（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，因此，．
因为是[0，b]上的2阶收缩函数，所以，①对x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得成立．
①即：对x∈[0，b]恒成立，由，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得成立．由得：x＜0或，所以．
综合①②可得：．                                    10分
（ⅱ）当b＞2时，显然有，由于f（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：，，可得，
此时，不成立．                               12分
综合ⅰ）ⅱ）可得：的取值范围为．                       13分
（注：在（ⅱ）中只要取区间内的一个数来构造反例即可，这里用只是因为简单而已）