Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）单调减区间是,增区间是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（1）先求，解不等式并和定义域求交集，得的单调递增区间；解不等式并和定义域求交集，得的单调递减区间；（2）等价于在时恒成立，即，故，得实数a的取值范围；（3）由特称量词的含义知，在区间内存在两个独立变量，使得已知不等式成立，等价于的最小值小于等于的最大值，分别求两个函数的最小值和最大值，建立实数的不等式，进而求的范围.
试题解析：由已知函数的定义域均为,且.
（Ⅰ）函数，当且时,;当时,.
所以函数的单调减区间是,增区间是.
（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．
（Ⅲ）命题“若使成立”等价于“当时，
有”．
由（Ⅱ），当时，，． 问题等价于：“当时，有”．
当时，由（Ⅱ），在上为减函数，则=，故．
当0<时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．