题目内容

已知
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)．
（I）当
a
∥
b
时，求2cos2x-sin2x的值；
（II）求函数．f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的值域．
分析：（1）由
a
∥
b
可求得tanx=-2，从而可求得2cos2x-sin2x的值；
（2）利用向量的坐标运算可求得f（x）=
2
2
sin（2x+
π
4
）+
1
4
，再由-
π
2
≤x≤0，求得-
3π
4
≤2x+
π
4
≤
π
4
，从而可求得f（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）∵
a
∥
b
，
∴
1
2
sinx+cosx=0，即tanx=-2；
∴2cos2x-sin2x=
2cos2x-sin2x
sin2x+cos2x

=
2-tanx
1+tan2x
=
6
5
．
（Ⅱ）∵
a
+
b
=（sinx+cosx，
1
2
），
∴f（x）=（
a
+
b
）•
b
=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1
4
=
2
2
sin（2x+
π
4
）+
1
4
．
∵-
π
2
≤x≤0，
∴-
3π
4
≤2x+
π
4
≤
π
4
，
∴-1≤sin（2x+
π
4
）≤
2
2
，
∴
1-2
2
4
≤f（x）≤
3
4
．
∴f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的值域为[
1-2
2
4
，
3
4
]．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查三角函数值的计算与某段区间上正弦函数的值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(sinx，1)，
b
=(2cosx，2+cos2x)，函数f（x）=
a
•
b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，函数f(x)=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）当0≤x≤
π
2
时，求函数f（x）的值域．
（2012•芜湖二模）已知
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)，函数f(x)=
a
•(
a
-
b
)，那么下列四个命题中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．
②当x=
π
8
时，f（x）有最小值2-
2
2
．
③[-
7
8
π，-
3
8
π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④点（-
π
8
，2）是函数f（x）的一个对称中心．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的最值并指出此时相应的x的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网