Question

已知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

5π

12

]时，求f（x）的最值并指出此时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积求出f（x）的表达式，利用倍角公式降幂后化积，得到y=Asin（ωx+Φ）+k的形式，则周期与单调区间可求；
（2）由x得范围求出2x+

π

6

的范围，结合正弦函数的值域得答案．

解答：解：（1）由知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，
则f(x)=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
∴f（x）的最小正周期为π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)，
∴f（x）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)；
（2）由（1）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
又当x∈[-

π

6

，

5π

12

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，
故当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，y_min=0；
当2x+

π

6

=π时，即x=

π

6

时，ymax=

3

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了正弦函数的周期和单调区间的求法，考查了正弦函数的定义域及其值域，是基础的运算题．