Question

已知

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，函数f(x)=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）当0≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐标运算可求得f（x）=sin（2x-

π

3

），从而可求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）由0≤x≤

π

2

可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，从而可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

（cos2x+1）+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）                      …（2分）
∴f（x）的最小正周期为π，
令sin（2x-

π

3

）=0，，得2x-

π

3

=kπ，
∴x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）．
故所求对称中心的坐标为（

kπ

2

+

π

6

，0），（k∈Z）-…（4分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

≤

2π

3

 …（6分）
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
即f（x）的值域为[-

3

2

，1]…（8分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域及其周期，属于三角中的综合，考查分析问题、解决问题的能力．