Question

（2012•芜湖二模）已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)，那么下列四个命题中正确命题的序号是

②③④

．
①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．
②当x=

π

8

时，f（x）有最小值2-

2

2

．
③[-

7

8

π，-

3

8

π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④点（-

π

8

，2）是函数f（x）的一个对称中心．

Answer 1

分析：先化简函数，再一一验证，①f（x）是周期函数，其最小正周期为π；
②当x=

π

8

时，2x+

π

4

=

π

2

，所以sin(2x+

π

4

)=1，可得f（x）有最小值2-

2

2

；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]时，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，可得[-

7

8

π，-

3

8

π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④利用（-

π

8

，0）是函数g（x）=sin(2x+

π

4

)的一个对称中心，可得结论．

解答：解：由题意，f(x)=

a

2-

a

•

b

=sin2x+1-(sinxcosx-

1

2

)=2-

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)，∴①f（x）是周期函数，其最小正周期为π，故①错；
②当x=

π

8

时，2x+

π

4

=

π

2

，∴sin(2x+

π

4

)=1，∴f（x）有最小值2-

2

2

，故②正确；
③x∈[-

7

8

π，-

3

8

π]时，2x+

π

4

∈[-

3π

2

，-

π

2

]，∴[-

7

8

π，-

3

8

π]是函数f（x）的一个单调递增区间，故③正确；
④∵（-

π

8

，0）是函数g（x）=sin(2x+

π

4

)的一个对称中心，∴点（-

π

8

，2）是函数f（x）的一个对称中心，故④正确
故答案为：②③④

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．