Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x接的弦长为2

7

．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C是过球心C的截面圆，求球的表面积．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,球的体积和表面积

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆的位置关系，利用待定系数法即可求圆C的方程；
（2）根据圆C过球心C，得到球半径和圆半径之间的关系，即可求出球的表面积．

解答： 解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
此时圆心坐标为（a，b），半径为r，
把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b，
又圆C与y轴相切，∴r=|a|，
∵圆心C到直线y=x的距离d=

|a-b|

2

=

2

|b|，弦长的一半为

7

，
∴根据勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此时圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此时圆C的标准方程为（x+3）²+（y+1）²=9，
综上，圆C的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）若圆C是过球心C的截面圆，
则球半径即为圆C的半径，
即球半径r=3，
则球的表面积4π×3²=36π．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．