题目内容

设O为△ABC所在平面上一点，动点P满足
OP
=
OB
+
OC
2
+λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），其中A，B，C为△ABC的三个内角，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：综合题,平面向量及应用
分析：建立适当的平面直角坐标系，设出点P的坐标，根据题意，求出点P满足的关系式，即可得出点P的轨迹是什么．
解答： 解：根据题意，
OP
=
OB
+
OC
2
+λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），
∴2
OP
=（
OB
+
OC
）+2λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），
∴（
OP
-
OB
）+（
OP
-
OC
）=2λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），
即
BP
+
CP
=2λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）①；
以BC为x轴，过A点作y轴，建立平面直角坐标系，
设B（b，0），A（0，a），C（c，0），不放设b＜c，P（x，y）；如图所示：
则由①式得：
BP
+
CP
=（x-b+x-c，y+y）=（2x-b-c，2y），
2λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）=2λ[
AB
AB
•
BC
×（-|
BC
|）+
AC
AC
•
BC
×（|
BC
|）]
=2λ[
(-b，a)
-b(c-b)
×（b-c）+
(-c，a)
-c(c-b)
×（c-b）]=2λ（0，
a
b
-
a
c
）；
∴2x-b-c=0，2y=2λ（
a
b
-
a
c
）；
∴x=
b+c
2
，y=λ（
a
b
-
a
c
）；
∵λ是任意实数，∴p为线段BC的中垂线上的点，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的外心．
故选：A．
点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求点的轨迹的问题，解题时应结合题意，画出图形，根据图形进行解答，是难题．
练习册系列答案
相关题目
对由20个小学生、30个初中生、50个高中生组成的总体中，按分层抽样抽取容量为n的样本．如果在被抽取的样本中有9名初中生，则在这次抽样中每个个体被抽到的概率为
 
．
在△ABC中，已知AB=1，BC=4，∠B=60°，则△ABC的面积是（　　）
A、2
3
B、
3
C、2
D、1
把下列在平面内成立的直线间的关系类比地推广到空间直线间的关系，结论还正确的是（　　）
（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．
（3）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行．
（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
A、1个B、2个C、3个D、4个
将函数y=sin2x图象向上平移一个单位长度，再向左平移
π
4
个单位长度，则所得图象对应的函数解析式是（　　）
A、y=2cos2x
B、y=2sin2x
C、y=1+sin（2x-
π
4
）
D、y=1+sin（2x+
π
4
）
在复平面内，复数z=
1
2
-
i
2
对应的点位于（　　）
A、第四象限B、第三象限
C、第二象限D、第一象限
已知sin4•tan2的值（　　）
A、不大于0B、大于0
C、不小于0D、小于0
一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则取到两个异色球的概率是（　　）
A、
1
5
B、
3
10
C、
3
5
D、
2
5
过双曲线
x2
4
-
y2
k
=1的左焦点，做垂直于实轴的直线，与双曲线交于A，B两点，则|AB|的长为（　　）
A、
k2
2
B、k2
C、
k
2
D、k

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