Question

设0＜θ＜2π,复数z=1-cosθ+isinθ,u=a²+ai,且zu是纯虚数,a是实数,记ω=z²+u²+2zu,试问ω可能是正数吗?为什么?

Answer 1

解：假设ω是正实数,那么有ω=z²+u²+2uz=(z+u)²＞0.

    而z+u=(1-cosθ+a²)+(a+sinθ)i,

∴(z+u)∈R.

    因而a+sinθ=0,

    即a=-sinθ.                                     (1)

    又zu=(1-cosθ+isinθ)(a²+ai)=a²(1-cosθ)-asinθ+[a²sinθ+a(1-cosθ)]i是纯虚数,

∴

    将 (1)代入 (3)得sin³θ-sinθ+sinθcosθ≠0,

    即sinθ(sin²θ-1+cosθ)≠0,

∴sinθ≠0.

    将 (1)代入 (2)得sin²θ(1-cosθ)+sin²θ=0,

    即sin²θ(2-cosθ)=0.

∵sinθ≠0,

∴cosθ=2矛盾.

    这是不可能的,故假设不成立,∴ω不可能是正数.