题目内容

（2013•江西）已知函数f（x）=a(1-2|x-
1
2
|)，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=
1
2
对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
分析：（1）只要证明f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x)成立即可；
（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；
（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
解答：（1）证明：∵f(
1
2
+x)=a(1-2|
1
2
+x-
1
2
|)=a（1-2|x|），f(
1
2
-x)=a(1-2|
1
2
-x-
1
2
|)=a（1-2|x|），
∴f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x)，∴f（x）的图象关于直线x=
1
2
对称．
（2）解：当0＜a＜
1
2
时，有f（f（x））=
4a2x，x≤
1
2
4a2(1-x)，x＞
1
2
．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a=
1
2
时，有f（f（x））=
x，x≤
1
2
1-x，x＞
1
2
．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤
1
2
}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当a＞
1
2
时，有f（f（x））=
4a2x，x≤
1
4a
2a-4a2x，
1
4a
＜x≤
1
2
2a(1-2a)+4a2x，
1
2
＜x≤
4a-1
4a
4a2-4a2x，x＞
4a-1
4a
，
∴f（f（x））=x有四个解：0，
2a
1+4a2
，
2a
1+2a
，
4a2
1+4a2
．
由f（0）=0，f(
2a
1+2a
)=
2a
1+2a
，f(
2a
1+4a2
)≠
2a
1+4a2
，f(
4a2
1+4a2
)≠
4a2
1+4a2
．
故只有
2a
1+4a2
，
4a2
1+4a2
是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞
1
2
．
（3）由（2）得x1=
2a
1+4a2
，x2=
4a2
1+4a2
．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3=
1
4a
，或x3=
4a-1
4a
．
当x3=
1
4a
时，S（a）=
2a-1
4(1+4a2)
．求导得：S′（a）=-
2(a-
1+
2
2
)(a-
1-
2
2
)
(1+4a2)2
．
∴当a∈(
1
2
，
1+
2
2
)时，S（a）单调递增，当a∈(
1+
2
2
，+∞)时，S（a）单调递减．
当x3=
4a-1
4a
时，S（a）=
8a2-6a+1
4(1+4a2)
，求导得S′(a)=
12a2+4a-3
2(1+4a2)2
．
∵a＞
1
2
，从而有S′(a)=
12a2+4a-3
2(1+4a2)2
．
∴当a∈(
1
2
，+∞)时，S（a）单调递增．
点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
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