题目内容

（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）写出数量积X的所有可能取值
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
分析：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：-2，-1，0，1，
（2）列举分别可得数量积为-2，-1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．
解答：解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：-2，-1，0，1，
（2）数量积为-2的有
OA2
•
OA5
，共1种，
数量积为-1的有
OA1
•
OA5
，
OA1
•
OA6
，
OA2
•
OA4
，
OA2
•
OA6
，
OA3
•
OA4
，
OA3
•
OA5
共6种，
数量积为0的有
OA1
•
OA3
，
OA1
•
OA4
，
OA3
•
OA6
，
OA4
•
OA6
共4种，
数量积为1的有
OA1
•
OA2
，
OA2
•
OA3
，
OA4
•
OA5
，
OA5
•
OA6
共4种，
故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=
7
15
，去唱歌的概率P2=
4
15
，
故不去唱歌的概率为：P=1-P2=1-
4
15
=
11
15
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．
练习册系列答案
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（2013•江西）函数y=sin2x+2
3
sin2x最小正周期T为
π
π
．
（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
（2013•江西）设函数f(x)=
1
a
x，0≤x≤a		 
1
1-a
(1-x)，		a＜x≤1
常数且a∈（0，1）．
（1）当a=
1
2
时，求f（f（
1
3
））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的最大值和最小值．

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