Question

（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点分别为，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）.

（1）若，求椭圆的离心率；

（2）若且，求椭圆方程；

（3）若存在一点P使为钝角，求椭圆离心率的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由AF1⊥AF2，根据对称性，△F1AF2为等腰直角三角形，即AO=OF2，从而得到b=c，结合a2=b2+c2，可求椭圆的离心率；

（2）由点的坐标求得 的坐标，代入

求得c的值，再由P（-4，3）在椭圆上联立方程组求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；

（3）由∠F1PF2为钝角，得到 有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．

试题解析：

（1）如图，若，据对称性，为等腰直角三角形，即，即，

故 5分

（2）设，则有

，知

又解得

即椭圆方程为 10分

（3）设，则，即，易见. 若当为钝角，当且仅当有解，

即有解，即.

又，

即.

故即即

即又即 16分

考点：直线与圆锥曲线的关系，平面向量数量积在解题中的应用与数学转化思想方法