Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+

m+n

2

x的两个极值点分别为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x₀，y₀）满足y₀=log_a（x₀+4），则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）∪（1，3）
• B、（0，1）∪（1，3）
• C、（

  1

  2

  ，1）∪（1，3]
• D、（0，1）∪[3，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，可得方程x²+mx+

m+n

2

=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log_a（x+4）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+

m+n

2

x的两个极值点分别为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，
∴f′（x）=x²+mx+

m+n

2

=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
则x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=log_a（x+4）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＞1，解得1＜a＜3或0＜a＜1，
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．