Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1（n=1，2，3，…），数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…）
（1）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算化简结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项公式；
（2）运用数列恒等式：b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求通项；
（3）求得nb_n=n（2^n-1+2），运用数列的求和方法：错位相减法和分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n=2a_n-1，可得n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
可得a₁=1；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1=2a_n-2a_n-1，
可得a_n=2a_n-1，
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）由b₁=3，b_n+1=a_n+b_n，可得
b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
即有b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=3+1+2+…+2^n-2=3+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1+2；
（3）nb_n=n（2^n-1+2），
前n项和T_n=（1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1）+（2+4+6+…+2n）
=S_n+n（n+1），
由S_n=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
两式相减可得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
即有S_n=（n-1）•2ⁿ+1；
则T_n=（n-1）•2ⁿ+1+n（n+1）．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列通项与前n项和的关系，考查数列恒等式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法和分组求和，注意运用等差数列和等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．