Question

若已知x，y满足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，求z=2x+y的最大值与最小值的差是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y可行域内的点B时，从而得到z=2x+y的最值即可．

解答： 解：如图：作出可行域（6分）
目标函数：z=2x+y，则y=-2x+z
当目标函数的直线过点A时，Z有最大值．
A点坐标由方程组

x-4y=-3 x=1

解得

x=1 y=1

，
A（1，1），Z_max=2x+y=3．（10分）
当目标函数的直线过点B时，Z有最小值，
B点坐标由方程组

x-4y=-3 3x+5y=25

解得

x=5 y=2

，B（5，2），
Z_min=2x+y=12．
故z=2x+y的最大值和最小值的差为：12-3=9．
故答案为：9．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．