Question

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此几何体的体积的大小

Answer 1

(1)异面直线与所成的角的余弦值为．
(2)二面角的的正弦值为．
(3)几何体的体积为16．

试题分析：(1)先确定几何体中的棱长, ，通过取的中点，连结，
则，∴或其补角即为异面直线与所成的角． 在中即可解得的余弦值.
(2) 因为二面角的棱为，可通过三垂线法找二面角，由已知平面，过作交于，连．可得平面，从而，∴为二面角的平面角． 在中可解得角的正弦值.
（3）该几何体是以为顶点，为高的，为底的四棱锥，所以
此外也可以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系来解答.
试题解析：（1）取的中点是，连结，
则，∴或其补角即为异面直线与所成的角．
在中，，．∴．
∴异面直线与所成的角的余弦值为．
（2）因为平面，过作交于，连．
可得平面，从而，
∴为二面角的平面角． 
在中，，，，
∴．∴．
∴二面角的的正弦值为．
（3），∴几何体的体积为16．
方法2：（1）以为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，，∴，
∴异面直线与所成的角的余弦值为．
（2）平面的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，
所以，，
则， ∴
从而，，
令，则，，
∴二面角的的正弦值为．
（3），∴几何体的体积为16．