Question

2．已知函数$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断f（x）的单调性，并利用定义证明．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）为定义在R上的奇函数．则f（0）=0，解得a的值；       
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，结合单调性的定义，可得函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数．
∴f（0）=0，
即a+$\frac{1}{{4}^{0}+1}$=0，解得a=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知a=-$\frac{1}{2}$，则f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，给出如下证明：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$）-（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$）
=$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{{4}^{{x}_{1}}-4}^{{x}_{2}}}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}}（1{-4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴${4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞1，∴1-${4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，
又∵4^x₁＞0，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
∴$\frac{{4}^{{x}_{1}}（1{-4}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（4}^{{x}_{1}}+1）{（4}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．