Question

若关于实数x的不等式|1-5x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：易知x≠0，于是可将已知不等式转化为a＞|-5+

1

x

|+|3+

1

x

|，利用绝对值不等式的意义即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：当x=0时，|1-0×5|+|1+3×0|=2＜0，不成立，故x≠0；
所以不等式|1-5x|+|1+3x|＜a|x|?a＞|

1-5x

x

|+|

1+3x

x

|=|-5+

1

x

|+|3+

1

x

|≥|（-5+

1

x

）-（3+

1

x

）|=8，
即当a＞8时，不等式|1-5x|+|1+3x|＜a|x|有解，
因为不等式|1-5x|+|1+3x|＜a|x|无解，
所以a≤8，即实数a的取值范围是（-∞，8]．
故答案为：（-∞，8]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，将已知不等式转化为a＞|-5+

1

x

|+|3+

1

x

|是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．