Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a-b=1，c=2，sinA=2sinB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin（2A-B）．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得出a=2b，联立方程组解出a，b．利用余弦定理得出cosA，sinA，代入三角形面积公式计算面积；
（2）利用余弦定理求出cosB，sinB，根据二倍角公式得出sin2A，cos2A，代入两角差的正弦公式计算．

解答 解：（1）∵sinA=2sinB，∴a=2b，
又∵a-b=1，∴a=2，b=1．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{4}$．
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{7}{8}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cos2A=cos²A-sin²A=-$\frac{7}{8}$．
∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=$\frac{\sqrt{15}}{8}×\frac{7}{8}+\frac{7}{8}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．