Question

16．已知S_n，T_n分别为数列{$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$}与{$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$}的前n项和，若S_n＞T₁₀+1013，则n的最小值为（　　）

• A． 1023
• B． 1024
• C． 1025
• D． 1026

Answer 1

分析 化简$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用分类求和与裂项求和法求和，对$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用分类求和求和．

解答 解：∵$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{1}{n（n+1）}+1）^{2}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=n+1-$\frac{1}{n+1}$，
∵$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T₁₀=1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{{2}^{10}}$
=10+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$=11-$\frac{1}{{2}^{10}}$，
∵S_n＞T₁₀+1013，
∴n+1-$\frac{1}{n+1}$＞11-$\frac{1}{{2}^{10}}$+1013=1024-$\frac{1}{{2}^{10}}$，
而1025-$\frac{1}{1025}$＞1024-$\frac{1}{{2}^{10}}$，
1024-$\frac{1}{1024}$=1024-$\frac{1}{{2}^{10}}$．
故n的最小值为1024，
故选B．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了分类讨论，裂项求和的应用，属于中档题．