Question

6．向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）（α、β∈R且α、β、α+β均不等于$\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$）．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最大值；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$ 且 $\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）时，求tanα+tanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量的坐标运算求出模长|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|，再根据三角函数的性质求出它的最大值；
（Ⅱ）根据平面向量的共线定理与数量积运算性质，求出tanαtanβ和tan（α+β）的值，即可求出tanα+tanβ的值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{b}$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ），
∴$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），…（2分）
∴|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（sinβ+cosβ）}^{2}{+（4cosβ-4sinβ）}^{2}}$=$\sqrt{17-15sin2β}$$≤\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
当且仅当$β=-\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$时取等号，…（5分）
∴|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最大值为$4\sqrt{2}$；…（6分）
（Ⅱ）向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，4cosβ），
当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，16cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴tanαtanβ=16①；…（8分）
由 $\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$），得 $\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）=0，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
∴sin（α+β）=2cos（α+β）…（11分）
∴tan（α+β）=2②；
由①②得：
tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）=2×（1-16）=-30．…（13分）

点评 本题考查了平面向量的坐标运算、模长公式以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．