Question

16．已知数列{a_n}满足首项a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）．
（Ⅰ）证明：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$，记数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，设角B是△ABC的内角，若sinBcosB＞T_n，对于任意n∈N₊恒成立，求角B的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系，即可得到结论．
（Ⅱ）通过（Ⅰ）计算可b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n，进而利用裂项相消求和法计算可知T_n，利用T_n＜$\frac{1}{4}$及二倍角公式化简可知$\frac{1}{2}$sin2B＞T_n，结合B∈（0，π）计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n•2ⁿ，则b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$．
又∵sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B＞T_n，对于任意n∈N₊恒成立，
∴$\frac{1}{2}$sin2B≥$\frac{1}{4}$，即sin2B≥$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），即2B∈（0，2π），
∴$\frac{π}{6}$≤2B≤$\frac{5π}{6}$，
∴B∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消求和法，涉及三角函数等基础知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．