Question

2．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为$\frac{1}{2}$与$\frac{2}{5}$．
（1）若甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（2）若甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．

Answer 1

分析 （1）两次投球恰好命中一次包括两种情况，即甲能够命中而乙不能命中，或甲不能命中而乙能够命中，这两种情况是互斥的．根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）四次投球中至少有一次命中的对立事件是四次投球一次也不能命中，首先根据相互独立事件同时发生的概率做出一次也不能命中的概率，再用对立事件的概率公式得到结果．

解答 解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事B，
则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{2}{5}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{5}$．
甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为A$\overline{B}$+B$\overline{A}$，
P（A$\overline{B}$+B$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为$\frac{1}{2}$；
（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是
P′=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{100}$，
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
P=1-$\frac{9}{100}$=$\frac{91}{100}$，
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为$\frac{91}{100}$．

点评 本题看出相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率，本题解题的关键是看清题目中所求的事件的概率的意义，正面来解释比较困难，可以选择应用对立事件来解决．