Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2 3

3

，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若

OM

•

ON

=-23，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．
（2）设m方程为y=kx-1，则点M、N坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组

y=kx-1 x2 3 -y2=1

的解，消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．

解答：解：（1）依题意，l方程

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到l的距离为

3

2

，得

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

，又e=

c

a

=

2 3

3

，
∴b=1，a=

3

．
故所求双曲线方程为

x2

3

-y²=1．
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，
则点M、N坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组

y=kx-1 x2 3 -y2=1

的解，
消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．①
依题意，1-3k²≠0，由根与系数关系，
知x₁+x₂=

6k

3k2-1

，x₁x₂=

6

3k2-1

OM

•

ON

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=

6(1+k2)

3k2-1

-

6k2

3k2-1

+1=

6

3k2-1

+1．
又∵

OM

•

ON

=-23，
∴

6

3k2-1

+1=-23，k=±

1

2

，
当k=±

1

2

时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为y=

1

2

x-1或y=-

1

2

x-1．

点评：本题是双典线的综合题，重点考查双曲线的性质及其应用，具有一定的难度．解题时要注意根与系数的关系的灵活运用．