Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，则tan2B等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $-\frac{4}{3}$
• D． $-\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式求出tanB，结合正切函数的二倍角公式进行求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴cosB=$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，则sinB=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{20}{25}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{2}$，
则tan2B=$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式以及同角的关系式，结合倍角公式进行化简求解是解决本题的关键．