Question

8．已知函数f（x）=ax²-（a+3）x-a．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在R上的单调性；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，求实数a的解集；
（3）若f（x）在区间（0，2a]上的最小值为-5a，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，函数f（x）=x²-4x-1的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，进而可得曲线y=f（x）在R上的单调性；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，函数f（x）区间（0，+∞）上为减函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，可得答案．
（3）由已知区间可得a＞0，此时函数f（x）=ax²-（a+3）x-a的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{a+3}{2a}$为对称轴的抛物线，分类讨论满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x²-4x-1的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，
此时函数在（-∞，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，
则函数f（x）区间（0，+∞）上为减函数，
当a=0时，f（x）=-3x满足要求；
当a≠0时，由函数f（x）区间（0，+∞）上为减函数，
可得：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{a+3}{2a}≤0\end{array}\right.$，解得：-3≤a＜0，
综上，满足条件的实数a的解集为：[-3，0]，
（3）∵f（x）在区间（0，2a]上的最小值为-5a，
故2a＞0，即a＞0，
此时函数f（x）=ax²-（a+3）x-a的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{a+3}{2a}$为对称轴的抛物线，
若2a≤$\frac{a+3}{2a}$，则0＜a≤1，此时当x=2a时，函数f（x）取最小值，即a（2a）²-（a+3）（2a）-a=-5a，解得：a=1，
若2a＞$\frac{a+3}{2a}$，则a＞1，此时当x=$\frac{a+3}{2a}$时，函数f（x）取最小值，即a（$\frac{a+3}{2a}$）²-（a+3）（$\frac{a+3}{2a}$）-a=-5a，此时不存在满足条件的a值，
综上所述，a=1

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．