Question

3．已知f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，当m≤x≤n时，f（x）取值范围为2m≤y≤2n，求m，n的值．

Answer 1

分析 由f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，当x=1时，函数取最大值$\frac{1}{2}$，可得2m≤2n≤$\frac{1}{2}$，进而得到当m≤x≤n时，f（x）为增函数，则m，n是方程f（x）=2x的两根，解得m，n的值．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当x=1时，函数取最大值$\frac{1}{2}$，
故2m≤2n≤$\frac{1}{2}$，
故m≤n≤$\frac{1}{4}$，
即当m≤x≤n时，f（x）为增函数，
故f（m）=2m，且f（n）=2n，
即m，n是方程f（x）=2x的两根，
解-$\frac{1}{2}$x²+x=2x得：x=-2，或x=0，
故m=-2，n=0

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．