Question

求证：（1）sin（nπ＋α）=（-1）ⁿsinα（n∈Z）；

（2）cos（nπ＋α）=（-1）ⁿcosα（n∈Z）.

Answer 1

思路分析：因为n∈Z，所以应把n分成奇数、偶数两种情况，结合诱导公式求解.

证明：（1）当n为奇数时，设n=2k-1（k∈Z），则

sin（nπ＋α）=sin［（2k-1）π＋α］=sin（-π＋α）

=-sin（π-α）=-sinα=（-1）ⁿsinα;

当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），则

sin（nπ＋α）=sin（2kπ＋α）=sinα=（-1）ⁿsinα，

∴sin（nπ＋α）=（-1）ⁿsinα（n∈Z）.

（2）当n为奇数时，设n=2k-1（k∈Z），则

cos（nπ＋α）=cos［（2k-1）π＋α］=cos（-π＋α）

=cos（π-α）=-cosα=（-1）ⁿcosα；

当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），

cos（nπ＋α）=cos（2kπ＋α）=cosα=（-1）ⁿcosα，

∴cos（nπ＋α）=（-1）ⁿcosα（n∈Z）.

方法归纳 诱导公式的第一、二、四、五组都是与kπ（k∈Z）有关的角，当k是偶数时，可直接用公式一或五去化简，当k是奇数时，应先用公式一或五转化成π±α的形式，再用公式二或四去化简.