题目内容

已知 $数学公式$ ，且sin（ $数学公式$ +cos（2π+α）= $数学公式$
求证：（1）sinα-cosα；
（2）tanα；
（3）sin³ $数学公式$ +cos³（ $数学公式$ 的值．

解：（1）∵sin（ $\text{[math]}$ +cos（2π+α）= $\text{[math]}$
∴sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，平方可得 2sinθcosθ=- $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$
∴sinθ-cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，sinθ-cosθ= $\text{[math]}$ ．∴sinα= $\text{[math]}$ ，cosα= $\text{[math]}$ ，
∴tanα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（3）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知利用诱导公式化简 sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，平方可得sinθcosθ 的值，然后求解sinθ-cosθ．
（2）通过方程组求出sinα，cosα，然后求解tanα．
（3）由诱导公式化简，通过立方差公式得 sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ），运算得到结果
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求出sinθcosθ= $\text{[math]}$ ，是解题的关键．