Question

18．已知函数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式f（x-1）+f（3-2x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}-2＜x-1＜2\\-2＜3-2x＜2\end{array}\right.$，即可求函数g（x）的定义域；
（2）不等式f（x-1）+f（3-2x）≤0转化为f（x-1）≤f（2x-3），利用f（x）在（-2，2）上单调递减，即可得出结论．

解答 解　（1）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}-2＜x-1＜2\\-2＜3-2x＜2\end{array}\right.$（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜3\\ \frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$．                                    （5分）
故函数g（x）的定义域为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．                                          （6分）
（2）由g（x）≤0，得f（x-1）+f（3-2x）≤0，
∴f（x-1）≤-f（3-2x）．
∵f（x）为奇函数，
∴f（x-1）≤f（2x-3）．                                                 （8分）
而f（x）在（-2，2）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}x-1≥2x-3\\ \frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}＜x≤2$．                                    （11分）
∴g（x）≤0的解集为（$\frac{1}{2}$，2]．（12分）

点评 本题考查求函数g（x）的定义域，考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．