Question

13．已知函数f（x）=$\frac{k}{{e}^{2}}$x+$\frac{e}{e-1}$，g（x）=lnx+$\frac{k}{e-1}$，当x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{e}$，1）
• B． （$\frac{e}{e-1}$，e）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （1，e）

Answer 1

分析 由题意可得lnx+$\frac{k}{e-1}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$x-$\frac{e}{e-1}$＜0恒成立，令h（x）=lnx+$\frac{k}{e-1}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$x-$\frac{e}{e-1}$，x＞0，求得导数，求得单调区间，可得最大值点，代入ln$\frac{{e}^{2}}{k}$+$\frac{k}{e-1}$-1-$\frac{e}{e-1}$＜0，即有lnk＞$\frac{k-1}{e-1}$，令m（k）=lnk-$\frac{k-1}{e-1}$，求得导数，求得单调区间，可得1＜k＜e时，m（k）＞m（e）=0．

解答 解：当x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，即为
lnx+$\frac{k}{e-1}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$x-$\frac{e}{e-1}$＜0恒成立，
令h（x）=lnx+$\frac{k}{e-1}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$x-$\frac{e}{e-1}$，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$，k＞0，
当x＞$\frac{{e}^{2}}{k}$时，h′（x）＜0，h（x）递减，
当0＜x＜$\frac{{e}^{2}}{k}$时，h′（x）＞0，h（x）递增，
即有x=$\frac{{e}^{2}}{k}$时，取得最大值，
即为ln$\frac{{e}^{2}}{k}$+$\frac{k}{e-1}$-1-$\frac{e}{e-1}$＜0，
即有lnk＞$\frac{k-1}{e-1}$，
令m（k）=lnk-$\frac{k-1}{e-1}$，导数为m′（k）=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{e-1}$，
当k＞e-1时，m（k）递减，当0＜k＜e-1时，m（k）递增，
当m=e时，h（e）=0，即1＜k＜e时，m（k）＞m（e）=0，
则有k的取值范围是（1，e）．
故选D．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查导数的运用：求单调区间，注意运用单调性求得范围，属于中档题．