Question

（本小题满分12分）已知函数（）．

若函数在处取得极值，求的值；

在的条件下，求证：；

当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）显然首先求导可得：，利用导数与函数极值的关系可得，解得，经检验，时在处取得极值，所以；（2）根据题意可得由（1）已知：，可令一新函数，观察它的特点，易得要利用导数与函数的关系进行处理，即：，可知在上是减函数，在上是增函数，所以，所以成立；（3）由知，，采用参数分离的方法可得：恒成立等价于在时恒成立，又令一新函数，，有，所以在上是增函数，有，所以可求得：.

试题解析：（1），由题意可得，解得

经检验，时在处取得极值，所以 (3分)

（2）证明：由（1）知，

令

由，

可知在上是减函数，在上是增函数

所以，所以成立 (8分)

（3）由知，

所以恒成立等价于在时恒成立

令，，有，

所以在上是增函数，有，所以. (12分)

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数研究函数的极值