题目内容
17．在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数），圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和圆C2的极坐标方程；
（2）过点O的直线l1、l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C1异于点O的交点分别为C和B，且l1⊥l2，求四边形ABCD面积的最大值．
分析 （1）求出两圆的普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设出l1，l2的参数方程，分别代入两圆方程得出OA，OB，OC，OD的长，得到四边形的面积关于l1的倾斜角α的函数解析式，利用α的范围和正弦函数的性质求出面积的最大值．
解答 解：（1）圆C1的普通方程为（x+1）2+y2=1，∴圆C1的圆心为C1（-1，0），半径r1=1．
圆C1的一般方程为：x2+y2+2x=0，
∴圆C1的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ=0，即ρ=-2cosθ．
∵圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|=3，
∴圆C2的圆心C2（2，0），半径r2=2．
∴圆C2的标准方程为（x-2）2+y2=4，化为一般式方程为：x2+y2-4x=0，
∴圆C2的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）设直线l1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数0$＜α＜\frac{π}{2}$），l2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t为参数），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x2+y2-4x=0得t2-4tcosα=0，∴|OA|=4cosα，
同理可得|OB|=2sinα，|OC|=2cosα，|OD|=4sinα，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$（OA+OC）（OB+OD）=18sinαcosα=9sin2α．
∴当$α=\frac{π}{4}$时，四边形ABCD的面积取得最大值9．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．
| A． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{9}{8}$ |