Question

已知x，y，z均为正实数，证明：
①2x²+（y+z）²≥

2

3

（x+y+z）²；
②

x2+2x(y+z)

2x2+(y+z)2

+

y2+2y(z+x)

2y2+(z+x)2

+

z2+2z(x+y)

2z2+(x+y)2

≤

5

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：本题①可以用作差法加以证明；②可以利用①的结论将左边进行变形，再加以证明，易得本题结论．

解答： 证明：①∵x，y，z均为正实数，
∴2x²+（y+z）²-

2

3

（x+y+z）²
=2x2+(y+z)2-

2

3

[x2+2x(y+z)+(y+z)2]
=

1

3

[4x2-4x(y+z)+(y+z)2]
=

1

3

(2x+y+z)2＞0，
∴2x²+（y+z）²≥

2

3

（x+y+z）²；
②由①知：2x²+（y+z）²≥

2

3

（x+y+z）²，
∴

1

2x2+(y+z)2

≤

3

2(x+y+z)2

，
∴

x2+2x(y+z)

2x2+(y+z)2

≤

3[x2+2x(y+z)]

2(x+y+z)2

，
同理

y2+2y(z+x)

2y2+(z+x)2

≤

3[y2+2y(z+x)]

2(x+y+z)2

，

z2+2z(x+y)

2z2+(x+y)2

≤

3[z2+2z(x+y)]

2(x+y+z)2

，
∴

x2+2x(y+z)

2x2+(y+z)2

+

y2+2y(z+x)

2y2+(z+x)2

+

z2+2z(x+y)

2z2+(x+y)2

≤

3[x2+2x(y+z)]

2(x+y+z)2

+

3[y2+2y(z+x)]

2(x+y+z)2

+

3[z2+2z(x+y)]

2(x+y+z)2

=

3[x2+2x(y+z)]

2(x+y+z)2

+

3[y2+2y(z+x)]

2(x+y+z)2

+

3[z2+2z(x+y)]

2(x+y+z)2

-

5

2

+

5

2

=-

2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx

2(x+y+z)2

+

5

2

=-

(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2

2(x+y+z)2

+

5

2

≤

5

2

．
∴

x2+2x(y+z)

2x2+(y+z)2

+

y2+2y(z+x)

2y2+(z+x)2

+

z2+2z(x+y)

2z2+(x+y)2

≤

5

2

．

点评：本题考查了作差法和配方法证明不等式，本题思维难度大，运算也很复杂，属于难题．