Question

证明不等式：

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

（n∈N^*）．（提示：放缩法可以利用（2n+1）（2n-1）＜（2n）²即

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

  ）

Answer 1

考点：反证法与放缩法,不等式的证明

专题：推理和证明

分析：把所证明的不等式的左侧的每一项，利用

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

，放大，即可证明不等式．

解答： 证明：∵4n²-1＜4n²，即（2n+1）（2n-1）＜（2n）²．即

2n-1

2n

＜

2n

2n+1

，
∴（

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

）²=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

×

2

3

×

4

5

×

6

7

…×

2n

2n+1

=

1

2n+1

，
∴

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

（n∈N^*）．

点评：本题考查不等式的证明，利用放缩法证明的关键是放大与缩小，不能随便放缩．