Question

7．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
（1）排成前后两排，前排3人．后排4人
（2）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
（3）全体站成一排，女生必须站在一起；
（4）全体站成一排，男生互不相邻．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将7人全排列即可，由排列数公式计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：先分析甲，再将其余6人全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，用插空法分2步进行分析：先将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，用插空法分析：先将4名女生全排列，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，将7人全排列即可，则共有A₇⁷种=5 040种方法．
（2）根据题意，分2步进行分析：
先排甲，由于甲不站排头也不站排尾，则甲有5种方法，
其余6人全排列，安排在其他位置，有A₆⁶种方法，
故共有5×A₆⁶=3 600种方法．
（3）根据题意，分2步进行分析：
将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A₄⁴种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A₄⁴种情况，
故共有A₄⁴A₄⁴=576种方法．
（4）根据题意，分2步进行分析：
先排女生，将4名女生全排列，有A₄⁴种方法，
再安排男生，由于男生不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A₅³种方法，
故共有A₄⁴×A₅³=1440种方法．

点评 本题考查排列、组合的综合应用，涉及分步、分类计数原理的应用，需要掌握特殊问题的处理方法．