Question

13．已知函数y=f（x）为R上的单调函数，且函数f（x+2）的图象关于（-2，0）对称，若动点P（x，y）满足等式f（x²+2x+4）+f（2y²+8y+3）=0，则x+y的最大值（　　）

• A． $\sqrt{3}$+3
• B． -3
• C． $\sqrt{3}$-3
• D． 3

Answer 1

分析 将y=f（x+2）右移2个单位可得y=f（x）的图象，即有f（x）的图象关于原点对称，由题意可得f（x²+2x+4）=-f（2y²+8y+3）=f（-2y²-8y-3），由f（x）在R上单调，可得x²+2x+4=-2y²-8y-3，配方再由三角换元，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：函数f（x+2）的图象关于（-2，0）对称，
将y=f（x+2）右移2个单位可得y=f（x）的图象，
即有f（x）的图象关于原点对称，
由f（x²+2x+4）+f（2y²+8y+3）=0，可得
f（x²+2x+4）=-f（2y²+8y+3）=f（-2y²-8y-3），
由f（x）在R上单调，可得x²+2x+4=-2y²-8y-3，
即为x²+2x+4+2y²+8y+3=0，
即有（x+1）²+2（y+2）²=2，
令x=-1+$\sqrt{2}$cosα，y=-2+sinα（0≤α＜2π），
则x+y=-3+sinα+$\sqrt{2}$cosα=-3+$\sqrt{3}$sin（α+θ），（其中tanθ=$\sqrt{2}$，0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
当α+θ=$\frac{π}{2}$时，sin（α+θ）取得最大值1，x+y取得最大值-3+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性和对称性的运用，考查换元法思想的运用，以及正弦函数的值域的运用，属于中档题．