Question

如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值.

试题分析：（1）利用折叠后点在平面内的射影点在棱上得到平面，从而得到，再结合即可证明平面，进而证明；（2）由（1）中的结论平面并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（3）先作，连接，利用（1）中的结论平面得到，于是得到平面，于是得到为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算，进而确定二面角的余弦值；另一种方法是利用空间向量法计算二面角的余弦值.
试题解析：（1）在平面上的射影在上，平面，
又平面，，
又，，平面，
又平面，；
（2）四边形是矩形，，
由（1）知，，平面，
又平面，平面平面；
（3）平面，，在中，由，，得，，
过点作，垂足为点，连接，
由平面，，平面，，
为二面角的平面角，
又在和，，，；
另解：以点为坐标原点，以方向为轴，以方向为轴，以平行的方向为轴，建立空间直角坐标系，可知、、，得，，
设平面的法向量为，由，得，
而平面的法向量为，，
结合图象可知二面角的余弦值为.